Code de Hamming

Codes derreur sur le binaire

L'objectif d'un code correcteur est la détection codes derreur sur le binaire la correction d'erreurs après la transmission d'un message.

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Cette correction est permise grâce à l'ajout d'informations redondantes. Le message est plongé dans un ensemble plus grand, la différence de taille contient la redondance, l'image du message par le plongement est transmise.

En cas d'altération du message, la redondance est conçue pour détecter ou corriger les erreurs. Un code de Hamming procède de cette logique, la redondance permet exactement la correction d'une altération sur une unique lettre du message.

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Rappelons les éléments de base de la formalisation. Ces éléments sont l'espace des messages que l'on souhaite communiquer.

Code de répétition

Ces notations sont utilisées dans tout l'article. Un code linéaire dispose d'une structure algébrique plus riche que celle du cadre général des codes correcteurs.

Correction d'erreurs : le code Hamming Un code correcteur d'erreur est utilisé pour transmettre un message dans un canal bruité ; il permet de reconstituer le message émis même si des erreurs en nombre limitédues au bruit, ont altéré le message. L'alphabet source, comme l'alphabet du code, est. On s'intéresse au codage par blocs : chaque mot de longueur m est codé par un mot de longueur n avec. Le codage est donc une application de vers. On montre que si deux mots distincts du code diffèrent au moins en d bits, alors le code permet de corriger exactement erreurs.

Les alphabets A et A' sont identifiés et munis d'une structure de corps fini. Le cas le plus fréquent consiste à choisir le corps F2 ou l'une de ses extensions finieson parle alors d'alphabet binaire.

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Les ensembles E et F sont naturellement munis d'une structure d' espace vectoriel de dimension respectives k et n. Si Fd désigne le corps fini cf l'article corps fini de cardinal d où d est une puissance d'un nombre premier p, alors l' espace vectoriel fini F est généralement identifié à Fdn.

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F est muni d'une distance qui dérive du poids de Hamming. La distance entre deux points de F correspond au nombre de coordonnées non nulles de la différence entre les deux points, dans la base canonique.

  • Code de Hamming — Wikipédia
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Ces notations sont utilisées dans le reste de l'article. Usuellement, on considère que le mot de code émis est celui se trouvant le plus près du mot reçu, codes derreur sur le binaire qui revient à supposer que le minimum de lettres a été modifié.

Ce procédé conduit à une erreur de décodage chaque fois que l'erreur est supérieure à la capacité corrective du code.

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La question naturelle est celle de la valeur de t correspondant au nombre maximum d'erreurs corrigibles. Une interprétation géométrique donne un élément de réponse.

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